Tokoh Geometri "EUCLID"

Euclid (325 – 265 SM)

  
( Pemberi dasar bahwa matematika adalah ilmu yang perlu pembuktian )

Geometri Euclid merupakan sebuah sistem matematik yang disumbangkan oleh seorang ahli matematik Yunani bernama Eucliddari Alexandria. Teks Euclid, Elements merupakan sebuah kajian sistematik yang terawal mengenai geometri. Ia sudah menjadi salah satu buku-buku yang paling berpengarh di dalam sejarah, sama banyaknya dengan kaedahnya yang mempunyai isi kandungan matematik. Kaedah cara yang mengandungi andaian satu set aksiom secara intuitif yang sangat menarik, dan kemudiannya membuktikan banyak usul (teorem-teorem) daripada aksiom-aksiom berkenaan. Walaupun banyak daripada keputusan-keputusan oleh Euclid sudah dinyatakan oleh ahli-ahli matematik Yunani sebelumnya, Euclid merupakan orang yang pertama untuk menunjukkan bagaimana usul-usul ini diletakkan secara sempurna membentuk satu deduksi dan sistem logikyang komprehensif.
Buku Elements ini bermula dengan geometri satah, yang masih lagi diajar di sekolah menengah sebagai satu sistem aksiomandan contoh-contoh pembuktian formal yang pertama. Kemudiannya, Elements merangkumi geometri pepejal dalam tiga dimensi, dan seterusnya geometri Euclid telah dipanjangkan kepada satu bilangan dimensi yang terhingga. Kebanyakan daripadaElements menyatakan keputusan-keputusan dalam apa yang kini disebut sebagai teori nombor, yang boleh dibuktikan menerusi kaedah geometri.
Selama dua ribu tahun, kata adjektif "Euclid" tidak diperlukan kerana pada masa itu tiada geometri lain dapat dibayangkan. Aksiom-aksiom Euclid nampak seperti sangat jelas sehinggakan apa-apa teorem lain yang dibuktikan daripadanya dianggap benar secara mutlak. Hari ini, bagaimanapun, banyak geometri bukan Euclid sudah diketahui, yang pertamanya telah dijumpai pada awal abad ke-19. Ia juga tidak boleh diambil mudah bahawa geometri Euclid hanya menggambarkan ruang fizikal. Satu implikasi daripada teori Einstein mengenai teori kerelatifan umum bahawa geometri Euclid merupakan satu anggaran yang baik kepada sifat-sifat ruang fizikal hanyak sekiranya medan graviti tidak terlalu kuat.
[sunting] Pendekatan aksioman Geometri Euclid merupakan satu sistem aksioman, yang mana semua teorem ("penyataan benar") adalah diambil daripada satu bilangan aksiom-aksiom yang terhingga. Pada permulaan buku Elements yang pertama, Euclid memberikan lima postulat (aksiom):

1. Apa-apa dua titik boleh dihubungkan dengan satu garis lurus.
2. Apa-apa tembereng garis lurus boleh dipanjangkan di dalam satu garis lurus.
3. Satu bulatan boleh dilukis dengan menggunakan satu garis lurus sebagai jejari dan satu lagi titik hujung sebagai pusat.
4. Semua sudut serenjang adalah kongruen.
5. Postulat selari. Jika dua garis bersilangan dengan yang ketiga dalam satu cara yang jumlah sudut dalaman adalah kurang daripada satu lagi, maka dua garis ini mesti bersilangan di atas satu sama lain sekiranya dipanjangkan secukupnya.

Aksiom-aksiom ini menggunakan konsep-konsep berikut: titik, tembereng garis lurus dan garis, sebahagian daripada satu garis, bularan dengan jejari dan pusat, sudut serenjang, kongruen, sudut-sudut dalaman dan serenjang, jumlah. Kata-kata kerja yang berikut muncul: sambung, dipanjangkan, lukis, silang. Bulatan ini digambarkan dengan menggunakan postulat 3 adalah sangat unik. Postulat-postulat 3 dan 5 hanya boleh digunakan untuk geometri satah; dalam tiga dimensi, postulat 3 mentakrifkan suatu bulatan.

Satu bukti daripada buku Euclid "Elements" bahawa apabila diberikan satu tembereng garis, satu segitiga sama wujud termasuklah tembereng sebagai salah satu daripada tiga sisi. Buktinya adalah dengan cara binaan: Satu segitiga sama ΑΒΓ dibuat dengan melukis bulatan Δ dan Ε berpusat pada titik-titik Α dan Β, dan dengan mengambil satu persilangan bulatan sebagai puncak sudut ketiga bagi segitiga tersebut. Postulat 5 membawa kepada geometri yang sama sebagai penyataan yang berikut, dikenali sebagai Aksiom Playfair, yang hanya boleh dipegang hanya konsep di dalam satah itu:

Menerusi satu titik yang tidak terletak di atas satu garis lurus, hanya satu sahaja garis yang boleh dilukis tidak akan bertemu garis yang diberi.

Postulat-postulat 1, 2, 3, dan 5 menegaskan bahawa kewujudan dan keunikan rajah-rajah geometri, dan peegasan ini adalah satu binaan semulajadi: iaitu, kita tidak diberitahu bahawa ada perkara tertentu wujud, tetapi kaedah-kaedah diberi untuk mencipta dengan tidak lebih daripada satu kompas dan satu pinggiran lurus yang tidak bertanda. Dalam kes ini, geometri Euclid adalah lebih konkrit daripada kebanyakan sistem-sistem aksiom moden seperti teori set, yang mana kebiasaannya menegaskan kewujudan objek-objek tanpa mengatakan bagaimana untuk membina mereka, atau menegaskan kewujudan objek-objek yang tidak boleh dibina di dalam ruang teori berkenaan.

Sebenarnya, binaan-binaan garis di atas kertas dan sebagainya adalah model-model objek yang lebih baik ditakrifkan di dalam sistem formal, daripada hanya contoh-contoh objek berkenaan. Sebagai contoh, satu garis lurus Euclid tidak mempunyai lebar, tetapi apa-apa garis yang benar akan menjadi lebar.

Elements juga memasukkan lima "notasi biasa":

1. Perkara yang sama dengan benda yang sama tetapi juga setara antara satu sama lain.
2. Jika setara ditambahkan kepada persamaan, maka jumlah keseluruhan juga adalah setara.
3. Jika setara ditolak daripada persamaan, maka bakinya juga adalah setara.
4. Perkara yang bertembung di antara satu sama lain juga setara antara satu sama lain that coincide with one another equal one another.
5. Jumlah keseluruhan juga lebih besar daripada bahagian berkenaan.

Euclid juga menggunakan sifat-sifat lain yang berkaitan dengan magnitud. 1 adalah satu-satunya bahagian daripada dasar logik yang Euclid lahirkan dengan terang dan jelas. 2 dan 3 adalah prinsip-prinsip "aritmetik"; perhatikan bahawa makna-makna "tambah" dan "tolak" di dalam konteks geometri asli ini telah diberi sama seperti diambil. 1 hingga 4 secara takrifan mempunyaipersamaan, yang mana boleh juga diambil sebagai bahagian pendasaran logik atau sebagai satu keperluan hubungan kesetaraan , seperti "pertembungan," definisi yang sangat teliti. 5 adalah satu prinsip mereologi. "Keseluruhan", "sebahagian", dan "baki" memerlukan takrifan yang tepat. 
Tidak ada jalan mulus mempelajari geometri”
(“There is no royal road to geometry”) Euclid

Riwayat
Tidak lama Pythagoras meninggal, lahirlah Euclid. Pada era ini matematika lebih dikenal sebagai sains dan kurang mistik. Theorema-theorema baru ditambahkan: kurva-kurva, lingkaran-lingkaran dan bentuk-bentuk lain dipelajari sama halnya seperti garis lurus dan bidang–bidang datar. Tahun yang disebut di atas hanya prakiraan karena tidak adanya sumber yang layak dipercaya. Ada sumber yang menyebutkan Euclid hidup antara tahun 330 - 275 SM.
Lembaga yang menaungi pembelajaran saat itu adalah akademi Plato. Masa keemasan Yunani dan kebebasan berekspresi membuat pemikir-pemikir baru bermunculan. Didirikan pada 380 SM, lolos dari invasi-invasi yang datang silih berganti, hidup dalam suksesi banyak tiran dan menjadi saksi keruntuhan dua kebudayaan besar – Yunani dan Romawi – sebelum akhirnya ditutup pada abad keenam oleh kaisar Justinian.
Euclid diperkirakan belajar pada akademi Plato ini sebelum diangkat menjadi pengajar matematika di tempat yang sama. Ada cerita Euclid masih mengajar di akademi ini ketika Alexander Agung menyatakan misinya untuk menaklukkan dunia. Yunani, bersama Mesir dan Mediterian dan negara-negara di kepulauan Yunani ditaklukkan oleh angkatan perang Macedonian. Pada tahun 332 SM, Alexander Agung menetapkan ibukota negara di Alexandria, Mesir dan sembilan tahun kemudian ia meninggal pada usia 33 tahun. Tahta diberikannya kepada jendral Ptolemy atau Claudius Ptolemaeus.

Universitas Ptolemy
Ptolemy - orang terpelajar *, membangun bukan saja suatu dinasti, mencakup salah satu keturunannya yang sangat terkenal, Kleopatra, tetapi juga mendirikan universitas yang lebih besar dari akademi Plato dan mengundang Euclid untuk mengajar di sana. Di tempat baru ini, Euclid merintis pengajaran matematika dan tinggal di sana sampai akhir hayatnya. Sebagai seorang guru, dia barangkali salah satu mentor Archimedes.
Ada legenda yang menceritakan bahwa anak Ptolemy bertanya kepada Euclid apabila ada cara mudah belajar geometri dengan mempelajari semua preposisi. “Tidak ada cara mulus mempelajari geometri,” adalah jawaban Euclid sambil menyuruh pangeran kembali membaca buku geometri. Jawaban ini menjadi kutipan (quotation) terkenal dari Euclid.
Euclid meninggal namun universitas Ptolemy di Alexandria terus berjalan. Salah satu murid terbesarnya – tanpa mengesampingkan teman sesama mahasiswa, adalah Archimedes. Orang Yunani dari Syracuse yang menimba ilmu di universitas, dimana salah satu pengajarnya adalah Euclid. 

Pribadi Euclid
Euclid dapat disebut sebagai matematikawan utama. Dia dikenal karena peninggalannya berupa karya matematika yang dituang dalam buku The Elements sangatlah monumental. Buah pikir yang dituangkan ke dalam buku tersebut membuat Euclid dianggap sebagai guru matematika sepanjang masa dan matematikawaan terbesar Yunani. 
Pribadi Euclid digambarkan sebagai orang yang baik hati, jujur, sabar dan selalu siap membantu dan bekerjasama dengan orang lain. Banyak theorema-theorema yang dijabarkannya merupakan hasil karya pemikir-pemikir sebelumnya termasuk Thales, Hippokrates dan Pythagoras. 
Banyak informasi salah tentang Euclid. Ada yang menyebutkan bahwa dia adalah anak Naucrates yang lahir di Tyre. Informasi lain mengemukakan bahwa di lahir di Megara. Memang ada nama yang sama, Euclid dan lahir di Megara, tetapi hal itu terjadi 100 tahun sebelum kelahiran Euclid dan profesi Euclid dari Megara adalah filsuf. Euclid sendiri lahir di Alexandria. Kesalahan nama ini jamak terjadi karena pada masa itu banyak orang bernama Euclid. 

Karya besar Euclid
The Element dapat dikatakan karya fenomenal pada jaman itu. Terdiri dari 13 buku yang tersusun berdasarkan tema dan topik. Setiap buku diawali dengan difinisi, postulat (hanya untuk buku I), preposisi, theorema sebelum ditutup dengan pembuktian dengan menggunakan difinisi dan postulat yang sudah disebutkan. Buku ini ke luar Yunani tahun 1482, diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dan Arab, serta menjadi buku teks geometri dan logika pada awal tahun 1700-an. Garis besar isi masing-masing buku.

Buku I : Dasar-dasar geometri: teori segitiga, sejajar dan luas 
Buku II : Aljabar geometri
Buku III : Teori-teori tentang lingkaran
Buku IV : Cara membuat garis dan gambar melengkung 
Buku V : Teori tentang proporsi-proporsi abstrak
Buku VI : Bentuk yang sama dan proporsi-proporsi dalam geometri
Buku VII : Dasar-dasar teori angka
Buku VIII : Proporsi-proporsi lanjutan dalam teori angka
Buku IX : Teori angka
Buku X : Klasifikasi 
Buku XI : Geometri tiga dimensi
Buku XII : Mengukur bentuk-bentuk 
Buku XIII : Bentuk-bentuk tri-matra (tiga dimensi)

Euclid mencetuskan 5 postulat yang kemudian menjadi pokok bahasan. Agar tidak terjadi salah interpretasi, maka postulat kelima juga disajikan dalam bahasa Inggris. Hal ini disengaja, karena munculnya geometri non-Euclidian, dirintis oleh Gauss, diawali dengan menganggap postulat kelima salah total.. 

1. Garis lurus dapat digambar dari (sembarang) titik sampai (sembarang) titik lainnya. 
2. Ujung garis lurus dapat dilanjutkan terus sebagai garis lurus. 
3. Lingkaran dapat digambar dari sembarang titik pusat dan dengan jari-jari berbeda. 
4. Semua sudut-sudut di sisi kanan besarnya sama dengan sisi lainnya. 
5. Apabila garis lurus terpotong menjadi dua garis lurus, menyudut di sisi dalam pada kedua garis pada sisi yang sama daripada dua sudut yang sejajar, jika diteruskan sampai ke (titik) tak terhingga, akan berpotongan pada sisi dimana sudutnya lebih kecil dibandingkan sudut yang terbentuk dari dua garis. 
(If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side together less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which the angles are together less than two right lines)

Theorema-theorema pada Elements adalah kompilasi karya para matematikawan sebelumnya – Pythagoras, Eudoxus, Menaechunus, Hippocrates, menampilkan pembuktian-pembuktian kuno dengan mengganti dengan baru dan disederhanakan. Element menjadi – dan abadi – buku teks baku dalam geometri. Saat mesin cetak ditemukan, buku ini termasuk buku pertama yang dicetak.
Euclid mencoba memecahkan problem irrasional yang membuat Pythagoras putus-asa. Dengan menggunakan contoh segitiga siku-siku dengan panjang kedua sisinya 1, maka sisi panjang segitiga adalah x² = 2. Euclid membuat asumsi bahwa solusinya dapat ditemukan. Solusi versi Euclid hanya menyebutkan bahwa v2 adalah (bilangan) irrasional yang artinya bilangan tersebut tidak dapat dibuat nisbah (ratio), bukan karena bilangan tersebut “kurang waras.” Rasanya ketiga-belas buku dan “kandungan” lima postulat sulit dibantah. Ternyata ada ‘cacat’ pada postulat kelima.

Cacat pada postulat Euclid 
Semua postulat membawa apa yang disebut dengan pembuktian diri (self-evidence). Postulat kelima dibuktikan oleh Euclid tanpa memberikan cara pembuktian. Upaya pertama untuk membuktikan postulat kesejajaran ini dilakukan oleh Girolamo Saccheri, pendeta Jesuit berkebangsaan Italia, yang mendukung Euclid dengan menerbitkan buku berjudul Euclides ab omni naevo vindicatus (“Euclid bebas dari semua kesalahan”) pada tahun 1733. Buku tersebut tidak dapat menuntaskan kesalahan Euclid. Matematikawan terkemuka Jerman, Gauss, pertama kali menemukan kesalahan postulat kelima tapi malu untuk mempublikasikannya sehingga kehormatan diberikan kepada dua matematikawan lain yang mengungkapkannya dengan cara penemuan Gauss. Janos Bolyai dari Hongaria dan Nicolai Lobachevsky secara terpisah mampu membuktikan cacat postulat kelima Euclid dengan cara berbeda pula. 
Penemuan kesalahan ini membuat berkembangnya geometri model baru. Dirintis oleh Beltrami dari Italia, disusul Cayley dari Inggris, Poincare dari Perancis dan Felix Klein dari Jerman. Terakhir, dirombak, diubah dan dilakukan penyesesuai kecil terhadap postulat-postulat Euclid oleh [Bernhard] Riemann dari Jerman sehingga muncul bentuk-bentuk baru: hiperbola, parabola, ellips yang merupakan jawaban bahwa alam semesta bukanlah pengikut aliran Euclid (non-Euclidian). 

Tiga problem matematika klasik
Para matematikawan sejak dahulu berkutat dengan tiga problem yang tidak dapat dipecahkan pada saat itu. Memang ketiga problem itu menjadi mudah setelah ada “campur-tangan” pada matematikawan modern yang terus menyempurnakan alat-alat matematika. Adapun ketiga problem ini adalah:

1. Persamaan pangkat 3

4x³ - 3x - a = 0

a adalah angka tertentu. Saat itu Yunani tidak mengenal pangkat tiga (kubik). Dengan penggaris dan kompas mereka hanya mampu menyelesaikan persamaan linier (pangkat 1) dan persamaan kuadrat (pangkat 2). 


2. Menggandakan kuadrat 

2x³ = y³ atau x³ = 2.

Problem yang tidak dapat dipecahkan terjadi karena sebuah legenda. Bangsa Athena, menurut cerita, konsultasi dengan Orakel (tempat dibangun kuil dan dewa bersabda) sebelum melakukan kampanye perang dan dijawab bahwa untuk mempertahankan kejayaan mereka harus menggandakan lebar altar pemujaan terhadap Apolo (Anak Zeus yang dipercayai oleh ayahnya untuk menyingkapkan keputusan-keputusan ayahhandanya untuk umat manusia), yang berbentuk kubus. Mereka segera membuat altar dengan dua kali panjang, dua kali lebar dan dua kali tinggi dibanding altar aslinya.
Percaya bahwa mereka sudah memenuhi keinginan Oracle, mereka dengan penuh percaya diri menuju perang – dan kalah. Ternyata, mereka membuat altar delapan kali besarnya, bukan 2 kali. 

3. Menggambar lingkaran.
Karena tidak ada alat yang tersedia, pada saat itu, tidaklah dimungkinkan menggambar lingkaran bahkan dinyatakan dalam bentuk persamaan aljabar. Problem menyangkut menentukan besaran p (pi), nisbah antara lingkaran dan diameter. Kendala datang dari p yang merupakan bilangan irrasional sekaligus transendental (= bukan bilangan yang dapat diekspresikan dalam aljabar. Sulit ‘memahami alam tanpa kehadiran bilangan ini. Ada 2 bilangan transendental yang terkenal: p dan e).

Ketiga problem klasik ini akan selalu membayangi kiprah para matematikawan. Tidak terkecuali Euclid, tanpa pernah dapat menyelesaikan. Matematikawan berikutnya akan selalu menghadapi dan berupaya memecahkan problem tersebut. Penyelesaian suatu problem berarti nama baik sekaligus prestasi. Tidak jarang terjadi kecurangan, saling “curi” ide, penghianatan. Dan hal ini selalu terjadi di jaman dulu sampai jaman sekarang. Banyak contoh dapat dibaca pada riwayat-riwayat para matematikawan selanjutnya. 

Euclid dan bilangan prima
Euclid, seperti matematikawan jaman sekarang, mempelajari bilangan prima, mencari untuk menentukan bilangan mana yang masuk kategori prima atau bukan. Euclid tidak pernah dapat menentukan bilangan prima, tetapi dia mampu memberikan jawaban tentang bilangan prima: bilangan prima itu tidak terhingga. 
Anak SD sekarang sudah terbiasa dengan bilangan prima. Dari angka 2 sampai dengan 50 terdapat 15 bilangan prima (2, 3, 5, 7, 11, 13, `7, `9, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) ; dari 50 sampai dengan 100 hanya 10 bilangan prima. 
Euclid membuat pernyataan: jika bilangan prima terbesar adalah n, maka pasti ada bilangan > n, di mana dapat dicari dengan menggunakan 1 x 2 x 3 dan seterusnya sampai n, kemudian ditambah 1 untuk mendapatkan hasilnya. Simbol matematika untuk mengekspresikan adalah n! + 1 (n faktorial ditambah 1). 

Kondisi sekarang
Apabila dahulu Euclid dipuja, sekarang keadaan berbalik. Banyak pengikutnya mulai “menyerang” Euclid dengan menyebut dia terlalu arogan dan memaksakan suatu pembuktian yang dibuatnya selalu benar, misalnya: salah satu sisi segitiga tidak akan lebih panjang daripada jumlah kedua sisi lainnya. Matematikawan modern mengkritik Euclid dari sudut pandang lain, yaitu: Euclid tidak cermat dalam melakukan pembuktian. Terdapat beberapa kesalahan dan ide-ide yang tidak dapat dipertanggungjawabkan. Yang paling mencolok adalah postulat kelima yang juga lazim disebut dengan postulat kesejajaran. 
Para matematikawan berikutnya tidak dapat menerima pernyataan-pernyataan (postulat) yang tidak dapat dibuktikan itu. Kemudian, muncul geometri non-Euclidian yang menggantikan postulat-postulat itu dengan pernyataan yang dapat diterima umum.

Masa tua Euclid
Pindah untuk mengajar di Alexandria yang lebih kosmopolitas, modern tidak membuat Euclid gembira dibandingkan tinggal di kota-kota di Yunani yang makin lama makin sepi. Di sini dia melihat aplikasi matematika. Pompa air, air terjun buatan bahkan motor yang digerakkan tenaga uap tidak memberi makna kehidupan bagi Euclid. Ia lebih suka matematika untuk dipelajari bukan untuk aplikasi. Euclid meninggal di Alexandria.


* Seorang astronomer yang menghitung gerakan bumi, bulan dan matahari. Perhitungan ini kelak akan disempurnakan oleh Newton. 


Sumbangsih
Format yang dibuat Euclid membantu terjadi standarisasi matematika Yunani. Subyek-subyek yang dibahas oleh Euclid mencakup bentuk-bentuk, theorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen, geometri ruang, teori proporsi, bilangan prima, bilangan sempurna, integer positif, bilangan irrasional, gambar tri-matra (tiga dimensi). Euclid meninggalkan warisan yang berguna bagi pengembangan matematika. 
Kompilasi hasil-hasil karya matematikawan sebelumnya lewat buku Elements, menunjukkan “benang merah” bahwa pengembangan matematika tidak lepas dari peran pemikir Yunani. Kritik terhadap Euclid justru memicu munculnya non-Euclidian yang melengkapi bahasan Euclid. Bentuk parabola, hiperbola dan elips mulai mendapatkan perhatian dari para matematikawan.

sumber : http://dellameryani09.blogspot.co.id/2016/02/biografi-euclid-325-sm-265-sm.html

Tokoh Geometri "PYTHAGORAS"

• Lahir: 570 SM Samos, Aegea Utara, Yunani
• Meninggal: 495 SM (berusia sekitar 75) Metapontum, Metapontum, Provinsi Matera, Basilicata, Italia
• Era: Filsafat kuno
• Tradisi: Pythagoreanisme
• Minat utama: Metafisika, Musik, Matematika, Etika, Politik
• Gagasan penting: Musika universalis, Tala Pythagoras, Teorema Pythagoras

Pythagoras adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya. Ia dikenal juga sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-kisah buatan mengenai dirinya.

Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.

Pythagoras dan murid-muridnya percaya bahwa segala sesuatu di dunia ini berhubungan dengan matematika, dan merasa bahwa segalanya dapat diprediksikan dan diukur dalam siklus beritme. Ia percaya keindahan matematika disebabkan segala fenomena alam dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan atau perbandingan bilangan. Terdapat legenda yang menyatakan bahwa ketika muridnya Hippasus menemukan bahwa, hipotenusa dari segitiga siku-siku sama kaki dengan sisi siku-siku masing-masing 1, adalah bilangan irasional, murid-murid Pythagoras lainnya memutuskan untuk membunuhnya karena tidak dapat membantah bukti yang diajukan Hippasus.

Legenda Pythagoras
Pythagoras lahir pada tahun 570 SM di Samos, Aegea Utara, Yunani. Dalam tradisi Yunani, diceritakan bahwa ia banyak melakukan perjalanan, diantaranya ke Mesir. Perjalanan Phytagoras ke Mesir merupakan salah satu bentuk usahanya untuk berguru, menimba ilmu, pada imam-imam di Mesir. Konon, karena kecerdasannya yang luar biasa, para imam yang dikunjunginya merasa tidak sanggup untuk menerima Phytagoras sebagai murid. Namun, pada akhirnya ia diterima sebagai murid oleh para imam di Thebe. Disini ia belajar berbagai macam misteri. Selain itu, Phytagoras juga berguru pada imam-imam Caldei untuk belajar Astronomi, pada para imam Phoenesia untuk belajar Logistik dan Geometri, pada para Magi untuk belajar ritus-ritus mistik, dan dalam perjumpaannya dengan Zarathustra, ia belajar teori perlawanan.

Selepas berkelana untuk mencari ilmu, Phytagoras kembali ke Samos dan meneruskan pencarian filsafatnya serta menjadi guru untuk anak Polycartes, penguasa tiran di Samos. Kira-kira pada tahun 530, karena tidak setuju dengan pemerintahan tyrannos Polycartes, ia berpindah ke kota Kroton di Italia Selatan. Di kota ini, Phytagoras mendirikan sebuah tarekat beragama yang kemudian dikenal dengan sebutan “Kaum Phytagorean.”

Pemikiran Phytagoras
Phytagoras percaya bahwa angka bukan unsur seperti udara dan air yang banyak dipercaya sebagai unsur semua benda. Angka bukan anasir alam. Pada dasarnya kaum Phytagorean menganggap bahwa pandangan Anaximandros tentang to Apeiron dekat juga dengan pandangan Phytagoras. To Apeiron melepaskan unsur-unsur berlawanan agar terjadi keseimbangan atau keadilan (dikhe). Pandangan Phytagoras mengungkapkan bahwa harmoni terjadi berkat angka. Bila segala hal adalah angka, maka hal ini tidak saja berarti bahwa segalanya bisa dihitung, dinilai dan diukur dengan angka dalam hubungan yang proporsional dan teratur, melainkan berkat angka-angka itu segala sesuatu menjadi harmonis, seimbang. Dengan kata lain tata tertib terjadi melalui angka-angka.

Kaum Phytagorean
Kaum phytagorean sangat berjasa dalam meneruskan pemikiran-pemikiran Phytagoras. Semboyan mereka yang terkenal adalah “authos epha, ipse dixit” (dia sendiri yang telah mengatakan demikian).2 Kaum ini diorganisir menurut aturan-aturan hidup bersama, dan setiap orang wajib menaatinya. Mereka menganggap

filsafat dan ilmu pengetahuan sebagai jalan hidup, sarana supaya setiap orang menjadi tahir, sehingga luput dari perpindahan jiwa terus-menerus.
Diantara pengikut-pengikut Phytagoras di kemudian hari berkembang dua aliran. Yang pertama disebut akusmatikoi (akusma = apa yang telah didengar; peraturan): mereka mengindahkan penyucian dengan menaati semua peraturan secara seksama. Yang kedua disebut mathematikoi (mathesis = ilmu pengetahuan): mereka mengutamakan ilmu pengetahuan, khususnya ilmu pasti.

Teorema Pythagoras
Dalam matematika, teorema Pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam geometri Euklides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku. Teorema ini dinamakan menurut nama filsuf dan matematikawan Yunani abad ke-6 SM, Pythagoras. Pythagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya fakta-fakta teorema ini sudah diketahui oleh matematikawan India (dalam Sulbasutra Baudhayana dan Katyayana), Yunani, Tionghoa dan Babilonia jauh sebelum Pythagoras lahir. Pythagoras mendapat kredit karena ialah yang pertama membuktikan kebenaran universal dari teorema ini melalui pembuktian matematis.

Ada dua bukti kontemporer yang bisa dianggap sebagai catatan tertua mengenai teorema Pythagoras: satu dapat ditemukan dalam Chou Pei Suan Ching (sekitar 500-200 SM), satunya lagi dalam buku Elemen Euklides.

sumber : 
1. Wikipedia
2.  https://kumpulanpenemudunia.blogspot.co.id/2016/03/pythagoras-dikenal-melalui-teoremanya.html

Tokoh Geometri "THALES"

Manusia adalah makhluk ciptaan Tuhan yang paling sempurna di muka bumi ini, yaitu dilengkapi dengan seperangkat akal dan pikiran yang tidak dimiliki oleh makhluk lain. Dengan akal dan pikiran ini manusia bisa memanfaatkannya dengan sebaik-baiknya dan semaksimal mungkin, yaitu manusia bisa berfikir tentang segala sesuatu secara jauh dan mendalam, dengan menggunakan logikanya. Kemampuan berfikir manusia ini dinamakan berfilsafat. Filsafat adalah kemampuan berfikir manusia menurut logika, secara bebas dan tidak terikat pada tradisi atau aturan-aturan tertentu, serta agama dan mampu berfikir secara radikal, sistematis, dan berfikir jauh serta sedalam-dalamnya sehingga sampai ke dasar-dasar permasalahan.
Orang yang pertama kali berfilsafat dimulai pada masa Yunani Kuno. Sejarah filsafat pada masa Yunani Kuno ini dimulai dengan munculnya berbagai pemikiran yang mendalam, tentang realitas atau alam sebagai tempat berpijak manusia ini. Kesadaran akan pemikiran ini dilakukan dengan perenungan oleh orang-orang yang dianggap bijak, renungan tersebut akhirnya terumus dalam proposisi-proposisi yang sistematis dan bijak.
Dari sinilah sejarah filsafat mulai muncul, yaitu dengan munculnya seorang filsuf pertama yang bernama Thales, yang lahir pada tahun 624 SM, di Miletus Asia Kecil. Pada tahun itu Miletus merupakan kota penting yaitu sebagai jalur perdagangan antara Yunani, Italia, Mesir, dan Asia. Sehingga karena sebagai kota transit inilah terjadi pertemuan antar Negara-negara tersebut dan terjadi pertukaran latar belakang kebudayaan dan pemikiran. Dan karena itulah sehingga kota Miletus juga dikenal sebagai pusat intelektualitas.
Thales disebut sebagai “Bapak Filsafat” karena dia adalah orang yang mula-mula berfilsafat. Gelar tersebut diberikan karena dia yang pertama kali berfilsafat tentang apa sebenarnya bahan dasar bumi ini. Dan dia pun menjawab bahan dasar bumi ini adalah air. sehingga Thales adalah filsuf pertama yang memikirkan tentang pertama kali terjadinya alam semesta.


BIOGRAFI TOKOH

Thales lahir pada 624 SM, di kota kecil Miletus yang terletak di pantai barat Asia Kecil, yang sekarang disebut Turki. Kota ini menjadi sebuah kota yang menjadi pusat perdagangan. Kapal-kapal pedagang dengan mudah berlayar ke Nil di Mesir., sedangkan caravan melakukan perjalanan lewat darat menuju kota di Babylon. Penduduk Miletus sering melakukan kontak dagang dengan kota-kota di Yunani dan warga Phonesia. Di kota ini juga merupakan tempat pertemuan dunia Timur dan Barat, sehingga memungkinkan orang-orang yang saling bertemu tersebut untuk mengisi waktu dengan berdiskusi, bertukar pandang dan pikiran, serta berpikir tentang segala sesuatu. Hal itu merupakan awal dari kegiatan berfilsafat, sehingga para filsuf Yunani pertama lahir di tempat ini.
Thales merupakan perintis matematika dan filsafat Yunani, beliau adalah seorang filsuf yang mengawali sejarah filsafat Barat pada abad ke-6 SM. Thales mendapat gelar “Bapak Filsafat” karena dia adalah orang yang mula-mula berfilsafat. Sebelum Thales, pemikiran Yunani dikuasai dengan cara berfikir mitologis dalam menjelaskan segala sesuatu. Pemikiran Thales dianggap sebagai kegiatan berfilsafat pertama karena mencoba menjelaskan dunia dan segala gejala-gejala yang ada di dalamnya tidak bersandar pada mitos melainkan pada rasio manusia. Thales mengajukan pertanyaan yang amat mendasar, yaitu “Apa sebenarnya bahan alam semesta ini?” dan ia sendiri menjawab air. Karena pertanyaannya itulah yang mengangkat Thales menjadi filosof pertama di dunia. Selain sebagai filsuf , Thales juga dikenal sebagai ahli geometri, astronomi dan politik.
Tentang kehidupan pribadi Thales, orang tua Thales adalah Examyes dan Cleobuline. Keluarganya memiliki hubungan keluarga kerajaan Phoenicia. Keluarga Thales memiliki hubungan dengan Cadmus pangeran Fenisia. Tentang pernikahannya Diogenes mengatakan Thales menikah dan memiliki seorang putra bernama Cybisthus atau Cybisthon cerita kedua Thales mengadopsi keponakannya dengan nama yang sama tersebut.
Thales adalah seorang saudagar, profesi inilah yang membuatnya sering melakukan perjalanan. Dan dia sering  berlayar ke Mesir. Di Mesir inilah, dalam waktu senggangnya Thales mempelajari astronomi dan geometri. Dia mempelajari ilmu ukur dan membawanya ke Yunani kembali. Thales dapat mengukur piramida dari bayangannya saja. Selain itu, ia juga dapat mengukur jauhnya kapal di laut dari pantai. Kemudian Thales menjadi terkenal setelah berhasil memprediksi terjadinya gerhana matahari pada tanggal 28 Mei tahun 585 SM. Thales dapat melakukan prediksi tersebut karena ia mempelajari catatan-catatan astronomis yang tersimpan di Babilonia, sejak tahun 747 SM.
Penemuan Thales dalam matematika yang menggunakan geometri untuk memecahkan masalah, seperti menghitung ketinggian piramida dan jarak kapal dari pantai sehingga membuat dia sebagai matematikawan sejati pertama. Thales juga orang pertama yang mempelajari listrik. Namun tulisan Thales dalam bidang astronomi lebih dikenal dari pada karyanya dalam bidang geometri.
Thales mendirikan sekolah filsafat Ionia di Miletus, dan memiliki banyak murid. Anaximander, Anaximenes, Mamercus dan Mandryatus adalah nama dari beberapa muridnya. Namun yang sangat terkenal adalah nama Anaximander (611-546), sukses menggantikan posisi Thales di Miletus. Dalam bidang politik, Thales pernah menjadi penasihat militer dan tehnik dari Raja Krosus di Lidya. Selain itu dia juga pernah menjadi penasihat politik bagi dua belas kota Iona. Penyebab kematian Thales belum diketahui secara pasti, dia meninggal pada tahun 547 di Miletus.

PEMIKIRAN TOKOH

Pemikiran-Pemikiran Thales

1. 1.      Air Sebagai Prinsip Dasar Segala Sesuatu

Thales tidak meninggalkan bukti-bukti tertulis mengenai pemikiran filsafatnya. Pemikiran Thales terutama didapatkan melalui tulisan Aristoteles tentang dirinya. Aristoteles mengatakan bahwa Thales adalah orang yang pertama kali memikirkan tentang asal mula terjadinya alam semesta. Karena itulah Thales juga dianggap sebagai perintis filsafat alam (natural philosophy)
Thales  menyatakan bahwa air adalah prinsip dasar segala sesuatu. Air menjadi pangkal, pokok, dan dasar dari segala-galanya yang ada di alam semesta. Berkat kekuatan dan daya kreatifnya sendiri dan tanpa ada sebab-sebab di luar dirinya, air mampu tampil dalam segala bentuk, bersifat mantap, dan tak terbinasakan.
Argumentasi Thales terhadap pandangan tersebut adalah bagaimana bahan makanan semua makhluk hidup mengandung air dan bagaimana semua makhluk hidup juga memerlukan air untuk hidup. Karena air adalah sumber kehidupan, dan tanpa air makhluk hidup pasti akan mati. Selain itu, air adalah zat yang dapat berubah-ubah bentuk (padat, cair, dan gas) tanpa menjadi berkurang.
Thales juga mengemukakan pandangan bahwa bumi terletak diatas air. Bumi dipandang sebagai bahan yang satu kali keluar dari laut dan kemudian terapung-apung di atasnya

• Menurut Thales bahan dasar dari segala sesuatu adalah air, kabut memberi kehidupan bagi segala sesuatu bahkan panas itu sendiri berasal dari kelembaban
• “segala macam benih memiliki kodrat kelembapan”
• “Air merupakan asal dari hakekat benda-benda yang lembab”
• “air merupakan objek komando di kalagan dewa-dewi”
• Benda-benda mempunyai banyak bentuk yang memiliki unsur dasar dan primer yang satu.

1. 2.      Pandangan Tentang Jiwa

Thales berpendapat bahwa segala sesuatu di jagat raya memiliki jiwa. Jiwa tidak hanya terdapat di dalam  hidup, tetapi juga benda mati. Teori tentang materi berjiwa ini disebut hylezoisme. Argumentasi Thales didasarkan pada magnet yang dikatakan memiliki jiwa karena mampu menggerakkan besi.

1. 3.      Theorema Thales

Di dalam geometri, Thales dikenal dengan theoremanya, yang disebut Theorema Thales.
Ada lima Theorema Thales, yaitu :

• Lingkaran dibagi dua oleh garis yang melalui pusatnya yang disebut dengan diameter.
• Besarnya sudut-sudut alas segitiga sama kaki adalah sama besar.
• Sudut-sudut vertical yang terbentuk dari dua garis sejajar yang dipotong oleh sebuah garis lurus menyilang, sama besarnya.
• Apabila sepasang sisinya, sepasang sudut yang terletak pada sisi itu dan sepasang sudut yang terletak di hadapan sisi itu sama besarnya, maka kedua segitiga itu dikatakan sama sebangun.
• Segitiga dengan alas diketahui dan sudut tertentu dapat digunakan untuk mengukur jarak kapal.

1. 4.      Pandangan Politik

Berdasarkan catatan Herodotus, Thales pernah memberikan nasehat kepada orang-orang Ionia yang sedang terancam oleh serangan dari Kerajaan Persia pada pertengahan abad ke-6 SM. Thales menyarankan orang-orang Ionia untuk membentuk pusat pemerintahan dan administrasi bersama di kota Teos yang memiliki posisi sentral di seluruh Ionia. Di dalam system tersebut, kota-kota lain di Ionia dapat dianggap seperti distrik dari keseluruhan system pemerintahan Ionia. Dengan demikian, Ionia telah menjadi sebuah polis yang bersatu dan tersentralisasi.
Herodotus mencatat bahwa Thales memprediksi gerhana matahari dari 585 SM, dan ini merupakan sebuah awal kemajuan penting bagi ilmu pengetahuan Yunani. Aristoteles melaporkan bahwa Thales menggunakan keterampilan dengan mengenali pola cuaca untuk memprediksi bahwa tanaman zaitun musim depan akan berlimpah. Dia pun membeli semua zaitun baik di kota maupun daerah, dan itu semua menjadi keberuntungan ketika prediksi menjadi kenyataan.
Plato menceritakan sebuah kisah Thales menatap langit malam, tidak menonton di mana ia berjalan, dan begitu jatuh ke selokan. Gadis pelayan yang datang untuk membantu dia kemudian berkata kepadanya “Bagaimana Anda berharap untuk memahami apa yang terjadi di langit jika anda bahkan tidak melihat apa yang di  kaki anda?” Menurut pendapat saya, janganlah kita berangan-angan terlalu jauh, jika kita tidak bisa melihat, mensyukuri, dan memanfaatkan semaksimal mungkin apa yang ada di dalam diri kita sendiri, maupun yang ada di lingkungan sekitar kita.
Kutipan-kutipan dikaitkan dengan Thales :

• “Sejumlah kata-kata ada bukti dari pikiran yang bijaksana.”
• “Harapan adalah roti orang miskin.”
• “Masa lalu yang pasti, masa depan mengaburkan.”
• “Tidak ada yang lebih aktif dari pada pikiran, untuk itu perjalanan melalui alam semesta, dan tidak ada yang lebih kuat dari keharusan untuk semua harus tunduk kepada itu.”
• “Kenalilah dirimu sendiri”.

  KESIMPULAN
Thales adalah seorang filsuf Yunani Kuno pada tahun 624-547 SM yang berasal dari Miletus, pantai barat Asia kecil (Turki). Beliau mendapat gelar bapak filsafat, karena dia adalah orang yang pertama kali berfilsafat. Gelar itu di berikan karena ia mengajukan pertanyaan yang amat mendasar, yaitu “Apa bahan dasar alam semsta ini?” dan dia menjawab air adalah bahan alam semesta. Ia melihat air sebagai sesuatu yang sangat diperlukan dalam kehidupan, dan menurut pendapatnya bumi terapung di atas air. Karena itu Thales juga dianggap sebagai perintis filasafat alam.
Pemikiran-pemikiran Thales yaitu:

1. Bumi berasal dari air.
2. Air sebagai prinsip dasar segala sesuatu

Thales menyatakan bahwa air adalah prinsip dasar segala sesuatu. Air menjadi pangkal, pokok, dan dasar dari segala-galanya yang ada di alam semesta.

1. Pandangan tentang jiwa

Thales berpendapat bahwa segala sesuatu di jagad raya memiliki jiwa, baik benda hidup maupun benda mati.

1. Theorema Thales

Dalam geometri ada 5 theorema Thales yang dipakai dalam penghitungan matematika.

1. Pandangan politik

Thales menyarankan bahwa untuk mempertahankan Negara dari ancaman serangan oleh Negara lain yaitu dengan membentuk pusat pemerintahan dan administrasi bersama  di kota yang memiliki posisi sentral di Negara tersebut.

REFERENSI

1. K. Bertens. 1990. Sejarah Filsafat Yunani. Yogyakarta: Kanisius.
2. http://www.the famous people.com/profiles/Hiales.263php
3. Juhaya S. Praja. 2005. Aliran-Aliran Filsafat dan Etika. Jakarta:Kencana. Hal 71-75.
4. www.fkuisu.ac.id/737/15/tokoh yang paling mempengaruhi dunia/
5. https://afidburhanuddin.wordpress.com/2013/09/21/filsafat-thales-3/